axiomasystemen

Axiomasystemen zijn formele systemen die worden gebruikt om wiskundige theorieën op te bouwen. Ze bestaan uit een verzameling axioma's, waarvan aangenomen wordt dat ze waar zijn, en uit regels van afleiding waardoor uit deze axioma's afgeleide uitspraken, de ακό historische theoremen, kunnen worden geleid. Axioma's vormen de basisvoorwaarden van de theorie; tegelijk bepalen de regels van deductie welke conclusies als geldig bewijs gelden.

Een axiomasysteem bevat doorgaans drie onderdelen: de axioma's zelf, de taal of het symbolische alfabet waarin de uitspraken geschreven worden, en de regels van inferentie waarmee men van axioma’s naar theoremen kan afleiden. Sommige systemen gebruiken axiomatische schema’s, waarbij een oneindige set van axioma’s wordt gegenereerd door variabelen in een algemeen formulier te vervangen.

Belangrijke concepten bij axiomasystemen zijn modelrepresentatie, consistentie, onafhankelijkheid en volledigheid. Een systeem is consistent als men geen afleidbaar tegendeel kan vormen, oftewel er kan geen statement en zijn negatie beide als theorema afgeleid worden. Een theorie heeft een model wanneer er een structuur bestaat waarin alle axioma’s waar zijn. Onafhankelijkheid betekent dat geen enkel axioma uit de rest afgeleid kan worden. Volledigheid houdt in dat elke ware stelling binnen de theorie ook afgeleid kan worden.

Bekende voorbeelden zijn de Peano-axioma’s voor de natuurlijke getallen, de Euclidische eerste postulaat voor meetkunde, Hilberts axioma’s voor geometrie en de Zermelo-Fraenkel-axioma’s (met keuze) voor de verzamelingenleer. In de logica leidt Gödel’s onvolledigheidsstelling tot de conclusie dat, voor systemen die rijk genoeg zijn om met getallen te rekenen, nooit alle ware uitspraken kunnen worden afgeleid en de consistentie van het systeem niet binnen het systeem zelf kan worden bewezen.