verzamelingenleer

Verzamelingenleer, oftewel de wiskundige studie van verzamelingen, vormt de basis van de hedendaagse wiskunde en logica. Een verzameling is een goed gedefinieerde collectie van objecten, die elementen worden genoemd. De discipline ontwikkelde zich in de late 19e eeuw onder invloed van Georg Cantor, die oneindige verzamelingen onderzocht en de notatie {|…|} introduceerde.

De formele benadering van verzamelingenleer wordt meestal gekarakteriseerd door de Zermelo‑Fraenkel‑axioma’s (ZF), aangevuld met het keuze‑axioma (ZFC). Deze axioma’s specificeren onder meer bestaan van de lege verzameling, de mogelijkheid van het vormen van een unie of doorsnede van verzamelingen, en de vorming van machtsverzamelingen. Ze dienen om paradoxen, zoals die van Russell, te vermijden.

In de praktijk onderscheidt men verschillende soorten verzamelingen: eindige, telbare (bijvoorbeeld de natuurlijke getallen) en ontelbare (bijvoorbeeld de reële getallen). Bepaalde operaties, zoals complement, cartesiaans product, en cartesiaanse machten, worden gebruikt om nieuwe verzamelingen uit bestaande te construeren.

Verzamelingenleer heeft toepassingen buiten de pure wiskunde, onder meer in de theoretische informatica, waar het de basis vormt voor formele talen, algoritme‑analyse en de modellering van gegevensstructuren. Ook in de filosofie wordt het ingezet om discussies over het bestaan en de aard van abstracte objecten te structureren.

Door zijn abstracte aard biedt verzamelingenleer een uniform kader voor het formuleren van definities, stellingen en bewijzen, en blijft het een fundamenteel onderdeel van elk wiskundig curriculum.