afgeleide

Een afgeleide van een functie f op een punt x is de limiet lim_{h→0} (f(x+h) - f(x)) / h, indien die limiet bestaat. De afgeleide wordt genoteerd als f'(x) of df/dx en geeft de snelheid van verandering van f bij x. Een functie is differentieerbaar op een interval als deze afgeleide op elk punt van dat interval bestaat.

Geometrisch gezien is de afgeleide de helling van de raaklijn aan de grafiek van f bij x. Het biedt een lokale lineaire benadering: f(x+h) ≈ f(x) + f'(x) h voor kleine h. De afgeleide geeft ook de richting en mate van verandering weer, wat nuttig is in praktisch beleid en modellering.

Belangrijke regels en voorbeelden: somregel (afgeleide van g+h is g'+h'), productregel (f g)' = f' g + f g', en kettingregel (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x). Basisfuncties: d/dx x^n = n x^{n-1}, d/dx e^x = e^x, d/dx sin x = cos x, d/dx cos x = -sin x. Voor samengestelde functies geldt de kettingregel.

Meer variabelen: bij functies van meerdere variabelen bestaan partiële afgeleiden ∂f/∂x_i en de gradient ∇f. Daarnaast spelen hogere afgeleiden en de Hessiaan een rol bij kwesties als concaviteit en optimalisatie.

Toepassingen omvatten natuurkunde en engineering (snelheid en versnelling), economie (marginale veranderingen), en wiskundige methoden zoals optimalisatie en Taylor-reeksen. Niet-differentieerbare punten, zoals x=0 voor |x|, hebben geen afgeleide; differentiabiliteit impliceert continuïteit, maar niet omgekeerd.