differentiabiliteit

Differentiabiliteit is een eigenschap van een functie die aangeeft of deze lokaal een lineaire benadering toeliet. Een functie f gedefinieerd op een open verzameling in R, is differentieerbaar in een punt a als er een lineaire kaart L bestaat zodat f(x) = f(a) + L(x − a) + o(||x − a||) wanneer x nadert tot a. De lineaire kaart die moet bestaan, is de afgeleide van f op dat punt.

In één variabele wordt differentiabiliteit vergezeld door de afgeleide f′(a), die de helling van de beste rechte lijn benadert. Voor meerdere variabelen wordt de afgeleide uitgedrukt door de Jacobi-matrix of gradient, die de beste lineaire benadering geeft van verschuivingen in de input.

Differentiabiliteit impliceert continuïteit van f in dat punt, maar niet elke continue functie is differentiabel. Een klassiek voorbeeld is |x|, dat wel continu is maar niet differentieerbaar in x = 0. Kenmerkend is ook dat differentiabiliteit lokaal is en vaak samengaat met regels als de kettingregel en productregel.

Naast fundamentele definities is er differentiatie van hogere orde: functies kunnen meerdere keren differentieerbaar zijn, wat leidt tot klassen als C^k en, bij oneindige differentiabiliteit, C^∞. In algemene zin kan differentiabiliteit uitgebreid worden naar functies tussen Euclidische ruimten, waarbij de afgeleide wordt weergegeven door lineaire toepassingen (de Jacobiaan). Lipschitz-functies zijn in dit kader vaak differentiabel bijna overal (Rademacher’s theorema).