limiet

Limiet is een fundamenteel begrip in de wiskunde dat aangeeft welke waarde een variabele of functie nadert wanneer de invoer dichter bij een bepaald punt komt of wanneer de invoer naar oneindigheid gaat. Twee belangrijke contexten zijn de limiet van een reeks en de limiet van een functie.

Limiet van een reeks: een reeks a_n heeft limiet L als n naar oneindig gaat wanneer de termen zo dicht bij L komen dat voor elke ε>0 er een N bestaat zodat |a_n - L| < ε voor alle n ≥ N. Als zo’n L bestaat, spreken we van convergentie; anders is er geen limiet.

Limiet van een functie: lim_{x→c} f(x) = L betekent dat voor elke ε>0 er een δ>0 is zodat 0<|x-c|<δ ⇒ |f(x)-L|<ε. Onezijdige limieten bestaan als de variabele naar c nadert vanaf een specifieke kant. Limieten bestaan niet altijd; soms is er geen L of is het limiet bij oneindigheid oneindig of onbepaald.

Limietwetten en toepassingen: onder de juiste voorwaarden gelden regels zoals lim(f+g) = lim f + lim g, lim(cf) = c lim f, lim(fg) = (lim f)(lim g), en lim(f/g) = lim f / lim g als lim g ≠ 0. Limieten bij oneindigheid of aan x→∞ leiden tot limieten zoals lim_{x→∞} f(x) = L.

Voorbeelden: lim_{n→∞} 1/n = 0; lim_{x→0} sin x / x = 1; lim_{x→∞} (2x^2+3)/x^2 = 2.

Notatie en concepten als limiet en convergentie vormen de basis van analyse en worden toegepast in continuïteit, integraalrekening en series.