concaviteit

Concaviteit is een wiskundige eigenschap die de buiging naar binnen beschrijft. In de meetkunde en wiskundediscipline wordt vaak gesproken over concaviteit van een kromme, gebied of grafiek. Als een grafiek concave is, ligt de lijnsegment tussen elk paar punten op of onder de grafiek; de grafiek buigt dus naar binnen toe. Dit in tegenstelling tot convexiteit, waarbij de lijnsegmenten tussen punten op de grafiek op of boven de grafiek liggen.

Voor functies wordt concaviteit vaak bestudeerd via de tweede afgeleide. Als een functie f op een interval twee keer differentieerbaar is en f''(x) ≤ 0 voor alle x in dat interval, dan is f concave op dat interval. Als f''(x) < 0 voor alle x, spreken we van strikt concave functies. Tegelijkertijd geldt: een functie is convex als f''(x) ≥ 0. Een bekend voorbeeld: f(x) = -x^2 is concave terwijl f(x) = x^2 convex is. Bij niet-differentiabele functies kan concaviteit ook gedefinieerd worden via de eigenschap dat elke rechte snede tussen twee grafiekpunten onder de grafiek ligt.

In de meetkundige zin kan ook een vlakke kromme of een veelhoek concav zijn: een kromme of vlakke vorm heeft dan inwendige hoeken groter dan 180 graden. De eigenschap concaviteit heeft verschillende toepassingen, zoals in optimalisatie en economie. In de wiskundige analyse leidt concaviteit tot vergelijkingen zoals Jensen’s ongelijkheid en tot eigenschappen van hypographen (het gebied onder de grafiek) die convex zijn. Concaviteit is daarmee een fundamenteel begrip naast convexiteit in de studie van vormen, functies en optimalisatie.

---