Basisfuncties

Basisfuncties zijn een set functies die samen een functie-ruimte vormen. Een dergelijke set B = {φ1, φ2, ..., φn} is een basis van een ruimte V als elke functie f in V kan worden geschreven als een unieke lineaire combinatie f = ∑i ci φi, met scalars ci. Het aantal basisfuncties komt overeen met de dimensie van V. Basisfuncties geven een eenvoudige manier om functies te representeren en te manipuleren.

Voorbeelden van basisfuncties zijn onder meer:

- Polynomiale ruimte Pn met basis {1, x, x^2, ..., x^n}; elke polynoom van graad ≤ n is een lineaire combinatie daarvan.

- Fourier-basis op een interval zoals [−π, π], met {1, cos(nx), sin(nx)} voor n ≥ 1, gebruikt in Fourier-analyses.

- In numerieke methoden, zoals het eindige-elementenmodel, nodale basisfuncties (hat-functies) met lokaal beperkte ondersteuning.

- In Hilbertruimten kan men kiezen voor orthonormale bases, bijvoorbeeld exponentiële basis e^{inx} in L2-ruimten.

Eigenschappen en gebruik:

Een basis is lineair onafhankelijk en span beiden de ruimte, zodat elke functie een unieke representatie heeft. In een ruimte met eindige dimensie telt men het aantal basisfuncties als de dimensie. In een inner-productruimte kan men kiezen voor een orthonormale basis; dan worden coëfficiënten eenvoudig berekend via projecties, ci = ⟨f, φi⟩. In oneindig-dimensionale ruimtes ontstaan vaak veralgemeningen zoals Shauder-bases (convergerende series) of Hamel-bases voor algemene vectorruimten.

Toepassingen omvatten functionele benaderingen, interpolatie, oplossing van differentiaalvergelijkingen, signaalverwerking en numerieke sequences/algebra via verschillende oplossingsmethoden. Basisfuncties dienen daarmee als fundament voor analyse en computationele methoden.