functieruimte

Functieruimte, in de wiskunde ook wel function space genoemd, is een verzameling van functies van een domein X naar een doelruimte zoals de tellen R of C, die is uitgerust met extra structuur. Veel voorkomende ruimten bevatten alle functies, maar vaak wordt gekeken naar subruimten met extra eisen, zoals continuïteit of integrabiliteit. Voorbeelden zijn de verzameling alle continue functies op een gesloten interval [a,b], C([a,b]), of het geheel van vierkante-integrabele functies L^2([a,b]).

Veel functieruimten worden behandeld als vectorruimten onder puntgewijze optelling en scalar vermenigvuldiging. Ze kunnen ook worden uitgerust met een norm of een inproduct, waardoor ze normruimten of innerproductruimten worden. Voorbeelden zijn C([a,b]) met de sup-norm, L^p-ruimten met de L^p-norm, en de ruimte van vierkantsomvangige functies met een geschikte innerlijkproduct zoals in L^2([a,b]).

Belangrijke eigenschappen zijn onder meer de volledigheid en de topologie. Een functieruimte die volledig is onder zijn norm, noemt men een Banachruimte; als er ook een innerlijkproduct is dat de norm inducing, spreken we van een Hilbertruimte. Deze structuur maakt mogelijk dat convergentie, continuïteit en differentieerbaarheid worden bestudeerd in een metrische of topologische context.

Veelvoorkomende soorten functieruimten zijn onder meer C([a,b]), C^k([a,b]) met afgeleide eisen, L^p(ruimten) op maatgegeven meetruimtes, en Sobolev-ruimten W^{k,p}. Functieruimten vormen een fundamentele bouwsteen in analyse, differentiaalvergelijkingen, signaalverwerking en wiskundige modellering.