puntgewijze

Puntgewijze is een term uit de wiskunde die een wijze van convergentie van een verzameling functies beschrijft. De gebruikelijke formulering luidt dat een rij functies f_n gedefinieerd op een domein D puntgewijs convergent is naar een functie f als voor elk punt x in D de getallen f_n(x) doen wat f(x) wanneer n naar oneindig gaat. Men schrijft f_n → f puntgewijs op D. Puntgewijze convergentie is een zwakkere vorm van convergentie dan uniforme convergentie.

Een voorbeeld: laat f_n(x) = x^n gedefinieerd zijn op het domein [0,1]. Dan convergeert f_n puntgewijs naar de functie f, waarbij f(x) = 0 voor x in [0,1) en f(1) = 1. De convergentie is niet uniform op [0,1], aangezien sup_{x∈[0,1]} |f_n(x) − f(x)| gelijk blijft aan 1 voor alle n.

Eigenschappen en context: puntgewijze convergentie behoudt niet noodzakelijk continuïteit; zelfs als elke f_n continu is, kan de limiet f discontinu zijn. Het verschilt ook van andere vormen van convergentie, zoals convergentie in L^p, convergentie in maat of almost everywhere convergentie, die elk hun eigen implicaties hebben in analyse. In functionele analyse en in operatorleer wordt vaak gesproken over puntgewijze limiten van functies of operatoren, en deze vorm van convergentie dient als fundament voor verdere concepten.

Varianten en gebruik: in het Nederlands wordt de uitdrukking puntgewijze of puntgewijs gebruikt om de wijze van convergentie aan te geven, bijvoorbeeld puntgewijze convergentie of puntgewijs definities.