differentieerbaarheid

Differentieerbaarheid is de eigenschap van een functie om nabij een punt een lineaire benadering te hebben. In één variabele: f: R → R is differentieerbaar bij a als lim_{h→0} (f(a+h) − f(a))/h bestaat; die limiet heet de afgeleide f′(a). In meervoudige variabelen: f: R^n → R^m is differentieerbaar bij a als er een lineaire kaart L: R^n → R^m bestaat zódat f(a+h) = f(a) + L(h) + o(∥h∥) wanneer h → 0. Voor m = 1 is L de Jacobiaan bij a.

Differentieerbaarheid impliceert continuïteit: een differentieerbare functie is altijd continu op het punt, maar niet elke continue functie is differentieerbaar. Differentiabiliteit vereist een betrouwbare lineaire benadering; continuïteit vereist slechts dat de functie niet abrupt springt.

Voorbeelden: polynomen zijn overal differentieerbaar. De functie f(x) = |x| is niet differentieerbaar bij x = 0, omdat de linker- en rechterafgeleide verschillen (−1 en +1). Een functie zoals f(x) = x^(1/3) is wel continu maar niet differentieerbaar in x = 0.

In het meervoudige variabelen-gebied geldt: het bestaan van alle partiële afgeleiden op een punt garandeert niet differentiabiliteit. Differentiabiliteit vereist de existence van de lineaire benadering, niet alleen van de afzonderlijke afgeleiden. Differentiatie is dus lokaal afhankelijk.

Daarnaast spreken we van hogere differentiabiliteit als de afgeleide zelf ook differentieerbaar is (tweedelige differentiabiliteit en verder). In de analyse wordt ook onderscheid gemaakt tussen Frechet-differentiabiliteit en, in sommige contexten, Gateaux-differentiabiliteit.