Frechetdifferentiabiliteit

Frechetdifferentiabiliteit is een begrip uit de analyse dat differentiatie uitdrukt voor functies tussen normruimtes, vaak Banach-ruimtes. Laat f: U → Y gelden met U een open verzameling in een normruimte X en Y een normruimte. f is Frechetdifferentiabel op een punt a ∈ U wanneer er een gebonden lineaire kaart L: X → Y bestaat zó dat de limiet van ||f(a+h) − f(a) − L(h)|| / ||h|| naar 0 gaat bij h → 0. Die lineaire kaart wordt het Frechtek­differentiër bv genoemd en geschreven als Df(a) of f′(a).

De Frechetsdifferentiatie geeft een aardige lineaire voorstelling van de verandering van f nabij het punt a: f(a+h) ≈ f(a) + Df(a)(h) met restterm o(||h||). In het geval van X = Y = R^n is Df(a) gelijk aan de Jacobiaanse matrix van f bij a, en de definitie voldoet aan wat men in de klassieke calculus gewend is.

Eigenschappen en gevolgen: als f Frechets differentiabel is op een open domein, dan is f continu in dat domein en Df(a) is uniek en continu in de zin van de norm van de Banach-ruimten. Een belangrijke regel is de kettingregel: als f en g Frechets differentiabel zijn op de juiste plaatsen, dan is g ∘ f Frechets differentiabel en D(g ∘ f)(a) = Dg(f(a)) ∘ Df(a). Frechets differentiabiliteit impliceert Gateaux differentiabiliteit, maar niet het omgekeerde.

Naast voorbeelden biedt Frechets differentiatie een robuuste basis voor optimalisatie en functionaalanalyse, vooral in oneindig-dimensionale setting en bij PDE-problemen.

Zie ook: Banach-ruimte, Gateaux-differentiatie, Jacobiaan.