zverdeling

De z-verdeling, ook wel de standaardnormale verdeling genoemd, is een bijzondere normale verdeling met gemiddelde (μ) 0 en standaardafwijking (σ) 1. Ze wordt veel gebruikt in statistiek om scores te standaardiseren en vergelijkingen tussen verschillende metingen mogelijk te maken.

De kansdichtheid van de z-verdeling is f(z) = (1/√(2π)) exp(-z^2/2). De bijbehorende cumulatieve verdelingsfunctie Φ(z) geeft de kans dat een standaardnormale variabele kleiner is dan of gelijk aan z. Φ heeft geen eenvoudige gesloten vorm en wordt vaak afgelezen uit tabellen of berekend met wiskundige functies. De verdeling is symmetrisch rond 0 en heeft geen uitbijters in vergelijking met andere verdelingen.

Relatie tot andere verdelingen: voor een willekeurige normale variabele X met gemiddelde μ en standaarddeviatie σ geldt: Z = (X − μ)/σ > N(0,1). Met andere woorden, elke normale verdeling kan worden omgezet naar de z-verdeling door standaardisatie.

Toepassingen: de z-verdeling wordt gebruikt bij standaardisatie van waarnemingen, zodat men z-scores kan interpreteren als aantallen standaardafwijkingen van het gemiddelde. In hypothesetoetsing en betrouwbaarheidsintervallen komen z-waarden voor: bijvoorbeeld bij een tweeledig 5%-significantieniveau zijn kritieke waarden ongeveer ±1,96; bij 1% ongeveer ±2,58. Voor grote steekproeven vormt de teststatistiek vaak een standaardnormale verdeling, waardoor p-waarden afgeleid kunnen worden uit Φ. Z-tabellen en computatiefuncties worden veel gebruikt bij deze berekeningen.

Samenvattend is de z-verdeling de standaardaanpassing van normale data, cruciaal voor interpretatie van scores, significantie en onzekerheid in veel statistische procedures.