standaardnormale

De standaardnormale verdeling, vaak aangeduid met Z, is een normaalverdeling met verwachtingswaarde 0 en standaardafwijking 1. Ze wordt genoteerd als Z ~ N(0,1). De kansdichtheidsfunctie is φ(z) = (1/√(2π)) e^{-z^2/2}, en de cumulatieve verdeling Φ(z) = P(Z ≤ z) is de integral van φ. De standaardnormale is symmetrisch rond 0 en unimodaal, met E[Z] = 0 en Var(Z) = 1. Voor alle z geldt Φ(-z) = 1 − Φ(z).

Vergeleken met een algemene normaalverdeling X ~ N(μ, σ^2) kan X worden omgerekend naar de standaardnormale door Z = (X − μ)/σ. Dan is Z ~ N(0,1). Het omgekeerde geldt ook: X = μ + σZ. Deze standaardisatie maakt vergelijkingen en berekeningen eenvoudiger, omdat veel tabellen en veel theoretische resultaten zijn afgeleid voor de standaardnormale.

Toepassingen: de standaardnormale variabele wordt gebruikt bij het berekenen van z-scores, p-waarden en betrouwbaarheidsintervallen in hypothesetoetsing en inferentie. Z-tests en veel statistische tabellen (z-tabellen) geven Φ(z) of bijbehorende percentielen. Voor een symmetrisch interval P(-a ≤ Z ≤ a) = Φ(a) − Φ(-a) = 2Φ(a) − 1. Veelgebruikte waarden: Φ(1) ≈ 0.8413, Φ(2) ≈ 0.9772. De 95% centrale band ligt bij ongeveer −1,96 tot 1,96, en de 99% centrale band bij ongeveer −2,58 tot 2,58. De standaardnormale vormt de basis voor veel praktische statistische methoden en theoretische resultaten in de normale familie.