eigenoplossing

Een eigenoplossing is een term die in de wiskunde soms informeler wordt gebruikt om een oplossing van een lineair systeem aan te duiden die voortkomt uit eigenwaarden en bijbehorende eigenvectoren. Het concept is vooral van belang bij lineaire differentialie- en difference equations, en bij het beschrijven van het gedrag van lineaire systemen.

Bij een constante matrix A geldt dat een vector v en een scalar λ die voldoen aan A v = λ v een eigenpaar vormen. Voor een differentiaalvergelijking x'(t) = A x(t) levert zo’n paar een eenvoudige oplossing op: x(t) = e^{λ t} v. Wanneer meerdere dergelijke paren bestaan, is de algemene oplossing een lineaire combinatie van deze “eigenoplossingen”. Bij complexe eigenwaarden ontstaan vaak combinatievormen met sinussen en cosinussen.

Voor systemen in tijd discrete vorm, x_{k+1} = A x_k, geeft elk eigenpaar také een oplossing van de vorm x_k = λ^k v. Als A diagonaaliseerbaar is, kan de volledige oplossing worden geschreven als een som van deze afzonderlijke oplossingen. Bij niet-diagonalisabele matrices blijft men werken met de Jordan-vorm en generaliseerde eigenvectoren, wat resulteert in oplossingen die naast e^{λ t} ook t e^{λ t}-achtige termen bevatten.

Belangrijke eigenschappen zijn onder meer dat de grootste reële of complexe eigenwaarde vaak het langetermijngedrag bepaalt, en dat het bestaan van voldoende onafhankelijke eigenoplossingen de oplossing in gesloten vorm mogelijk maakt. De term eigenoplossing is in formele literatuur niet altijd standaard; meestal wordt gesproken over oplossingen opgebouwd uit eigenwaarden en eigenvectoren of eigenmodes. Gebieden waarin het voorkomen is: lineaire algebra, differentiaal- en verschilvergelijkingen, en dynamische systemen.