differentiaal

Differentiaal is een wiskundig begrip dat de lineaire, kleine verandering in een functie beschrijft die het gevolg is van een kleine verandering in de invoer. Voor een functie y = f(x) geldt de differentiaal dy als de lineaire benadering van de verandering Δy bij een kleine Δx: dy ≈ f'(x) dx. Dx is een increment in x en dy is de bijbehorende verandering in y.

In het geval van een functie van meerdere variabelen f: R^n → R geldt de totale differentiaal df(x) = ∑_{i=1}^n (∂f/∂x_i)(x) dx_i, oftewel df(x) = ∇f(x) · dx. Differential kan ook gezien worden als een 1-form, met dx_i als basisvormen.

Het differentiaal dient als lineaire schatting van Δf en wordt veel gebruikt bij foutpropagatie, Taylor-expansies en in differentiaalvergelijkingen. In deze context is het nauw verbonden met de afgeleide: de afgeleide geeft de richting en snelheid van verandering, het differentiaal geeft de daadwerkelijke kleine verandering aan.

Voorbeelden: f(x) = x^2 ⇒ dy = f'(x) dx = 2x dx. Bij x = 3 en dx = 0.1 is dy ≈ 0.6.