axiomsysteem

Een axiomsysteem is in de wiskunde en logica een samenhangend geheel van axioma's en regels van afleiding dat dient als basis voor een formele theorie. Axioma's zijn stellingen die zonder bewijs worden aangenomen; regels van afleiding bepalen hoe uit de axioma's en reeds bewezen stellingen nieuwe stellingen kunnen worden afgeleid. Zo'n systeem omvat doorgaans een formele taal, een verzameling axioma's en een methode om bewijzen te construeren.

Het doel van een axiomsysteem is het leveren van een compacte en precieze basis waarlangs wiskundige waarheid kan worden afgeleid. Het systeem maakt expliciet welke beweringen logisch volgen uit de uitgangspunten en welke niet. Door middel van bewijzen kan men robuuste resultaten bevestigen en falen aantonen door tegenvoorbeelden of inconsistenties.

Voorbeelden van beroemde axiomsystemen zijn: Euclidische meetkunde met postulaat- en axioma’s voor ruimte en lijnen; de Peano-axioma's voor natuurlijke getallen; verzamelingenleer zoals Zermelo-Fraenkel met of zonder keuze (ZF / ZFC); en Hilberts axioma’s voor geometrie. Axiomen worden vaak gekozen om zo eenvoudig mogelijk te zijn en toch een rijke theorie mogelijk te maken.

Belangrijke eigenschappen van axiomsystemen zijn onder andere consistentie (het vermijden van tegenstrijdigheden), onafhankelijkheid (een axioma kan niet uit de overige axioma's worden afgeleid), en volledigheid (elke uitspraak ofwel waar ofwel onwaar binnen het systeem). Gödel toonde dat een aanzienlijk krachtig systeem dat aritmetiek omvat, niet volledig kan zijn in een consistent formeel raamwerk. Modellering en modeltheorie bieden methoden om de betekenis en geldigheid van axioma’s te onderzoeken.