modeltheorie

Modeltheorie ist ein Zweig der mathematischen Logik, der sich mit Modellen formaler Theorien befasst. Sie untersucht die Wechselwirkung zwischen Syntax (Sprachen, Theorien) und Semantik (Interpretationen, Strukturen) und fragt, welche mathematischen Objekte als Modelle bestimmter axiomatischer Systeme auftreten und wie Eigenschaften einer Theorie in den Eigenschaften ihrer Modelle sichtbar werden.

Eine Sprache L besteht aus Symbolen für Funktionen, Relationen und Konstanten. Eine L-Struktur M interpretiert diese Symbole, sodass Sätze der Sprache in M wahr oder falsch sind. Eine Theorie T ist eine Menge von L-Sätzen; ein Modell von T ist eine Struktur M, in der alle Sätze von T gelten (M ⊨ T). Wichtige Konzepte sind Elementarsubstrukturen (M ≺ N), Elementaräquivalenz (M ≡ N) und Typen. Zentral sind Ergebnisse wie der Löwenheim-Skolem-Theorem und der Kompaktheitssatz, die es ermöglichen, Modelle mit bestimmten Eigenschaften zu konstruieren.

Die Modeltheorie untersucht Eigenschaften von Theorien, die unabhängig von konkreten Modellen gelten. Wichtige Themen sind Quantorenauslöschung (Quantifier Elimination), Modellvollständigkeit und Stabilität. Berühmte Beispiele zeigen die Verbindung zu Algebra und Geometrie: Die Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper (ACF) ist vollständig und besitzt Quantorenauslöschung in geeigneter Sprache; die Theorie der reell abgeschlossenen Körper (RCF) besitzt Quantorenauslöschung in der Sprache der geordneten Ringe. Diese Ergebnisse liefern definierbare Mengen und Hilfsmittel für Strukturen in Algebra und Zahlentheorie.

Historisch gehört die Modeltheorie zu den zentralen Bereichen der logischen Grundlagenforschung. Sie entwickelte sich aus Arbeiten von Löwenheim, Skolem und Tarski sowie später durch Morley, der Stabilitätstheorie begründete, und wurde weiter durch Shelah, van den Dries und andere ausgebaut. Heute verbindet sie sich mit Algebra, Geometrie, Zahlentheorie und Analysis, und dient sowohl theoretischen als auch anwendungsorientierten Zwecken, etwa beim Verständnis definierbarer Mengen oder beim Beweis strukturtheoretischer Ergebnisse.