Funktionen

Funktionen beschreiben eine Zuordnung, die jedem Element einer Definitionsmenge D genau ein Element einer Zielmenge W zuordnet. Formal wird eine Funktion oft als f: D → W geschrieben, wobei f(x) das zugeordnete Element aus W für x ∈ D bezeichnet. Die Definitionsmenge D enthält alle Werte, für die die Zuordnung definiert ist; das Bild oder der Wertebereich f(D) ist die Teilmenge von W, die tatsächlich als Funktionswerte entsteht.

Notationen und Begriffe: Der Funktionswert wird mit f(x) bezeichnet. Die Funktion ist total auf D, wenn jeder x ∈ D einen Wert f(x) besitzt. Die Menge W wird auch Codomain genannt; das Bild f(D) ist die Teilmenge von W, die auftreten kann.

Eigenschaften und Typen: Man unterscheidet injektive, surjektive und bijektive Funktionen. Eine Funktion ist injektiv, wenn verschiedene x verschiedene f(x) liefern. Sie ist surjektiv, wenn jedes Element von W als Funktionswert vorkommt. Eine Bijektion ist beides zugleich. Bijektive Funktionen besitzen ein Umkehrbild f^{-1}: W → D.

Beispiele: Eine lineare Funktion f(x) = ax + b mit a ≠ 0 ist oft injektiv und, je nach Domäne und Ziel, bijektiv (beispielsweise f: R → R). Die quadratische Funktion f(x) = x^2 auf ganz R ist nicht injektiv; auf dem Definitionsbereich x ≥ 0 wird sie injektiv. Die Exponentialfunktion f(x) = e^x hat D = R und Bild (0, ∞) und ist bijektiv. Sinusfunktionen habenDomain R und Bild [-1, 1], aber sind dort nicht injektiv.

Operationen und Anwendungen: Funktionen lassen sich kombinieren (f ∘ g)(x) = f(g(x)) und, bei Bijektionen, umkehren. In der Informatik dienen Funktionen als abstrakte Rechenbausteine, die Eingaben transformieren und returning Werte liefern. Anwendungen finden sich in Mathematik, Physik, Statistik und Programmierung.