Teilmenge

Eine Teilmenge, auch Untermenge genannt, ist eine Menge, deren alle Elemente auch Elemente einer anderen Menge sind. Formell gilt: A ist eine Teilmenge von B (A ⊆ B), wenn für jedes Element x gilt: x ∈ A ⇒ x ∈ B.

Eine echte Teilmenge (manchmal auch strikte Teilmenge) von B ist A, wenn A ⊆ B und A ≠ B. In vielen Texten wird dafür das Symbol ⊂ (oder ⊊) verwendet. Damit wird ausgedrückt, dass A in B enthalten ist, aber nicht gleich B ist.

Beispiele: Der leere Satz Ø ist eine Teilmenge jeder Menge. Sei A = {1, 2} und B = {1, 2, 3}. Dann gilt A ⊆ B und A ≠ B, also ist A eine echte Teilmenge von B.

Eigenschaften: Wenn A ⊆ B und B ⊆ C, dann folgt A ⊆ C (Transitivität der Teilmengenrelation). Aus A ⊆ B folgt auch A ∪ C ⊆ B ∪ C und A ∩ C ⊆ B ∩ C. Die Anzahl der Elemente erfüllt |A| ≤ |B|. Die Potenzmenge P(A) enthält alle Teilmengen von A.

Anwendungen: Teilmengen bilden die Grundlage der Mengentheorie, Logik und Informatik. Sie werden verwendet, um Beziehungen zwischen Mengen zu beschreiben, Teilmengenprüfungen durchzuführen und Mengenkonstruktionen wie Vereinigung, Schnitt und Potenzen zu verstehen.