Teilmengen

Teilmengen (auch Untermengen) sind in der Mathematik Mengen, deren Elemente alle auch Elemente einer anderen Menge, der Obermenge, sind. Formal gilt: Eine Menge A ist eine Teilmenge von B, geschrieben A ⊆ B, wenn jedes Element x von A auch in B liegt. Eine echte Teilmenge, oder echte Untermenge, bezeichnet man A ⊊ B, wenn A ⊆ B und A ≠ B. In vielen Texten werden außerdem die Symbole ⊆ und ⊂ unterschiedlich verwendet, daher ist der Kontext wichtig.

Beispiele verdeutlichen die Konzepte: {1, 2} ⊆ {1, 2, 3, 4}, und {1, 2} ⊊ {1, 2, 3}. Der leere Satz ∅ ist eine Teilmenge jedes Sets, während sich A ⊆ B und B ⊆ A genau dann erfüllen, wenn A = B.

Die Teilmengenrelation bildet eine partielle Ordnung auf der Menge aller Teilmengen einer gegebenen Grundmenge. Sie ist reflexiv (A ⊆ A), antisymmetrisch (wenn A ⊆ B und B ⊆ A, dann A = B) und transitiv (wenn A ⊆ B und B ⊆ C, dann A ⊆ C). Die Vereinigung aller Teilmengen von X nennt man Potenzmenge P(X).

In Anwendungen spricht man oft von Unterstrukturen, die durch Teilmengen definiert werden: Untergruppen, Untervektorräume, Unterringe und ähnliche Konzepte in Algebra und Geometrie. Auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung oder der Logik treten Teilmengen als Ereignisse bzw. Modelle auf. Insgesamt dient der Begriff der Teilmenge dazu, Inklusion und Hierarchien innerhalb von Mengen klar zu beschreiben.