Potenzmenge

The Potenzmenge eines Satzes A, oft notiert als P(A) oder 2^A, ist die Menge aller Teilmengen von A. Jedes Element von P(A) ist also eine Submenge S von A (S ⊆ A). Beispiel: A = {1, 2} hat P(A) = {∅, {1}, {2}, {1,2}}. Allgemein lässt sich P(A) auch durch Funktionen beschreiben: P(A) ist natürlich isomorph zur Menge der Indikatorfunktionen χ_S: A → {0,1}, wobei S = {a ∈ A | χ_S(a) = 1}.

Eigenschaften: P(A) ist monoton, d. h. A ⊆ B impliziert P(A) ⊆ P(B). Es bildet zusammen mit Vereinigung, Schnitt und Komplement relativ zu A eine Boolesche Algebra. Die Potenzmenge liefert eine natürliche Struktur zur Betrachtung aller Untermengen.

Kardinalität: Für endliche A mit n Elementen gilt |P(A)| = 2^n. Für unendliche Mengen gilt eine wesentliche Eigenschaft durch Cantors Satz: Es gilt nie, dass eine Menge A genau auf P(A) abgebildet werden kann, d. h. |A| < |P(A)|. Folglich existiert keine „Größeres als alle Mengen“-Menge, und es gibt keine surjektive Abbildung von A auf P(A).

Anwendungen: In der Kombinatorik dient P(A) zur Zählung von Teilmengen. In der Logik und Informatik werden Teilmengen oft durch charakteristische Funktionen beschrieben. In der Topologie und Mathematik allgemein spielt die Potenzmenge eine fundamentale Rolle als Baustein für Strukturen und Beweise.

Historischer Hinweis: Der Begriff stammt aus der Arbeit von Georg Cantor im 19. Jahrhundert, der die Grundlage der Mengenlehre weiterentwickelte.