Beweise

Beweise bezeichnet in der Mathematik eine argumentative Folge von Aussagen, die die Wahrheit einer Behauptung mit strenger Logik aus Axiomen, Definitionen und bereits bewiesenen Sätzen ableiten. Ziel ist es, Zweifel an der Gültigkeit der Behauptung auszuschließen; jeder Schritt muss logisch gerechtfertigt sein.

Typische Beweisarten sind der direkte Beweis, der aus den Voraussetzungen unmittelbar folgt; der Beweis durch Widerspruch (Beweis durch Negation der Behauptung); der Beweis durch Kontraposition; und der Beweis durch vollständige Induktion. Es gibt auch konstruktive Beweise, die die Existenz eines Objekts durch eine konkrete Konstruktion zeigen, sowie nicht-konstruktive Beweise, die Existenz theoretisch nachweisen, ohne eine Konstruktion zu liefern.

Beweise bauen auf Axiomen und Definitionen sowie auf gültigen logischen Regeln wie modus ponens. Sie prüfen, dass kein Schritt unbegründet bleibt, und vermeiden Zirkelschlüsse und unzulässige Verallgemeinerungen. Historisch reicht die Praxis von geometrischen Beweisen bei Euclid bis zur formalen Beweisführung in der Logik, wobei in der modernen Mathematik formale Grundlagen und Konsistenztheorien eine Rolle spielen.

Beispiele berühmter Beweise verdeutlichen das Prinzip, unter anderem der Irrationalitätsbeweis von sqrt(2) und der Unendlichkeit der Primzahlen. Beweise bilden die Grundlage für verlässliche Ergebnisse in Mathematik, Wissenschaftstheorie und informatischen Begründungen.