Beweisarten

Beweisarten bezeichnen in der Mathematik verschiedene Vorgehensweisen, mit deren Hilfe die Gültigkeit einer Behauptung gezeigt wird. Zu den grundlegendsten Kategorien gehören der direkte Beweis, der indirekte Beweis (einschließlich Beweis durch Widerspruch und Beweis durch Kontraposition), Beweise durch Fallunterscheidung sowie Beweise durch Konstruktion. Bei Existenzbehauptungen wird zudem zwischen konstruktiven und nicht-konstruktiven Beweisen unterschieden. Daneben spielen Induktionsbeweise, insbesondere die vollständige Induktion, eine zentrale Rolle.

Beim direkten Beweis leitet man ausgehend von den Prämissen und Axiomen die Behauptung unmittelbar her, oft durch logische Implikationen, Definitionen und einfache Rechen- oder Mengeneigenschaften. Ein direkter Beweis zeigt, dass aus gegebenen Annahmen zwangsläufig folgt, dass die Schlussfolgerung wahr ist.

Beim Beweis durch Widerspruch nimmt man an, dass die zu beweisende Behauptung falsch ist, und zeigt, dass diese Annahme zu einem logischen Widerspruch führt. Der Beweis durch Kontraposition folgt dem Prinzip, statt P→Q zu beweisen, die gegenteilige Implikation ¬Q→¬P zu zeigen. Beweise durch Fallunterscheidung zerlegen die Behauptung in mehrere Fälle und beweisen jeden Fall separat.

Beweise durch Konstruktion (konstruktive Beweise) zeigen die Existenz eines Objekts durch eine konkrete Beschreibung oder einen expliziten Aufbau. Nicht-konstruktive Beweise bestätigen Existenz oft durch theoretische Argumente, ohne das Objekt konkret zu liefern. Die vollständige Induktion beweist eine Aussage für alle natürlichen Zahlen, indem man Basisfall und Induktionsschritt beweist; starke Induktion ist eine verbreitete Variante.

In der Praxis werden Beweisarten oft kombiniert, je nach Struktur der Behauptung und den verfügbaren Mitteln. Die Wahl der Methode hängt von Definitionen, vorhandenen Ergebnissen und dem gewünschten Beweisziel ab.