Mengenlehre

Mengenlehre ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Mengen befasst – Sammlungen von Objekten, die als Elemente dieser Mengen gelten. Sie dient als fundamentale Sprache der Mathematik, in der sich nahezu alle mathematischen Objekte beschreiben lassen. Zentrale Begriffe sind Mengen, Elemente, Teilmengen sowie Operationen wie Vereinigung, Schnitt und Differenz; das kartesische Produkt ermöglicht die Bildung von Tupeln und Beziehungen zwischen Mengen.

Die Mächtigkeit oder Kardinalität einer Menge misst, wie viele Elemente sie enthält. Während endliche Mengen eine endliche Kardinalität besitzen, können unendliche Mengen wie die natürlichen Zahlen N oder die reellen Zahlen R eine unendliche Mächtigkeit haben. Mengen werden oft durch Eigenschaftsdefinitionen beschrieben, z. B. {n ∈ N | n < 5}.

Historisch gab es eine naive Mengenlehre, die zu Paradoxien wie dem Russell-Paradoxon führte. Die moderne Grundlagenforschung verwendet axiomatische Mengenlehre, insbesondere Zermelo-Fraenkel mit dem Auswahlaxiom (ZFC). Typische Axiome sind Extensionalität, Paarung, Vereinigung, Potenzmenge, Unendlichkeit, Replacement und Regularität; das Auswahlaxiom ergänzt ZF zu ZFC.

Mengenlehre dient als Fundament der Mathematik, ermöglicht formale Beweise und die systematische Ordnung mathematischer Strukturen. Sie spielt auch eine Rolle in der theoretischen Informatik, Logik und der Modelltheorie. Wichtige Fragestellungen betreffen die Unabhängigkeit bestimmter Aussagen von ZFC, wie der Kontinuumshypothese, was zeigt, dass manche mathematische Wahrheiten weder beweisbar noch widersprüchlich innerhalb einer gegebenen Grundordnung sind.