Regularität

Regularität (auch Glattheit oder Differenzierbarkeit) bezeichnet in der Mathematik und verwandten Bereichen das Ausmaß, in dem ein Objekt glatt, regelmäßig oder differenzierbar ist. Der Begriff wird oft im Zusammenhang mit Funktionen, Lösungen von Gleichungen oder Feldgrößen verwendet.

In der Analysis werden Regularitätsklassen definiert, um die Glattheit bzw. die Integrabilität von Objekten zu quantifizieren. Typische Klassen sind C^k (zweifach bis k-fach differenzierbar), Hölder-Klassen C^{k,α} (mit α ∈ (0,1)) sowie Sobolevklassen W^{k,p}. Analytische Regularität bedeutet unendlich viele Ableitungen und oft sogar Analytizität. Es gibt zentrale Regularitätstheoreme, insbesondere in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen (PDE): elliptische, parabolische und hypoelliptische Regularität beschreiben, unter welchen Bedingungen die Regularität der Eingabedaten oder Randbedingungen auf die Lösung übertragen wird. Beispiele zeigen, dass Lösungen der Laplace-Gleichung bei passenden Bedingungen glatt oder sogar analytisch sind.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird von Regularität der Pfade gesprochen: z. B. Brown’sche Bewegung besitzt fast sicher Hölder-Kontinuität bestimmter Ordnung; die Regularität stochastischer Prozesse hat Auswirkungen auf Simulation und Approximation.

Die Regularität beeinflusst auch Anwendungen in Numerik und Geometrie: Die Konvergenzgeschwindigkeit von Verfahren wie dem Finite-Elemente-Verfahren hängt von der Regularität der Lösung ab, und in der Geometrie beschreibt sie die Glattheit von Mannigfaltigkeiten und Feldern.

Etymologisch stammt Regularität vom lateinischen regula ab und bezeichnet die Einhaltung einer Regelmäßigkeit oder Ordnung.