HölderKlassen

Hölderklassen, auch Hölder-Räume oder Hölder-Spaces, bezeichnen Funktion spaces, die auf einer offenen Menge Ω ⊂ R^n definiert sind und deren Ableitungen bis zur Ordnung k sowie deren k-te Ableitungen Hölder-stetig der Ordnung α ∈ (0,1] sind. Man schreibt dafür C^{k, α}(Ω). Für α=0 erhält man C^{k}(Ω), die normalen (stetigen bzw. unendlich differenzierbaren) Funktionen bis Ordnung k. Die Fälle C^{0, α}(Ω) heißen Hölder-kontinuierlich.

Der Hölder-Seminorm [f]_{C^{k, α}(Ω)} ist definiert als das Supremum über x ≠ y von |D^k f(x) − D^k f(y)| / |x − y|^{α}. Der Norm- Begriff lautet通常 ||f||_{C^{k, α}(Ω)} = ∑_{|β|≤k} sup_{Ω} |D^β f| + [f]_{C^{k, α}(Ω)}. Ist α=1, spricht man oft von C^{k,1} oder Lipschitz-Konkretisierung. Falls α=0 oder k=0 fallen C^{0, α} bzw. C^{k}(Ω) in andere Kategorien.

Hölderklassen sind Banachräume und gehören zu den wichtigsten Funktionräumen in der Analysis. Sie bieten eine feine Abstufung der Regularität gegenüber Sobolevräumen und sind stabil unter lokalen Erweiterungen und Glockenkanten. Die Inklusionen laufen typischerweise C^{k, α}(Ω) ⊂ C^{k, β}(Ω) für α > β und C^{k+1, α}(Ω) ⊂ C^{k, α}(Ω).

Anwendungen finden sich vor allem in der PDE-Theorie, z. B. in Schauder-Schätzungen, die Regularität von Lösungen elliptischer Gleichungen in Hölderklassen beschreibt, sowie in der Approximationstheorie und der Numerik. Die Begriffe variieren leicht je nach Autor; gängig ist auch die Bezeichnung Λ^{α} oder Hölder-Zygmund-Spaces.

Historisch gehen Hölderklassen auf Otto Hölder zurück, der diese Art von Regularitätskonzept im frühen 20. Jahrhundert einführte.