Approximationstheorie

Die Approximationstheorie ist ein Teilgebiet der Analysis, das sich mit der Frage beschäftigt, in welchem Maße und nach welchen Verfahren Funktionen durch einfachere Objekte angenähert werden können. Typische Näherungsobjekte sind Polynome, trigonometrische Polynome, rationale Funktionen, Splines oder neuronale Netze. Zentrales Anliegen ist die Bestimmung des minimalen Fehlers in einer gegebenen Näherungsnorm (etwa der Uniformnorm oder Lp-Normen) sowie die Beschreibung der Geschwindigkeit der Annäherung (Konvergenzraten).

Ein grundlegendes Ergebnis ist der Satz von Weierstraß (Weierstraß'scher Satz): Jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall lässt sich gleichmäßig durch Polynome approximieren. Dieser Satz wurde später durch den Stone–Weierstraß-Satz verallgemeinert, der die Approximation durch Polynome auf allgemeinen kompakten Räumen einschließt. Die Arbeiten von Bernstein, Jackson und anderen führten Beweise und Aussagen über die Raten der Annäherung ein.

Typische Problemstellungen: Bestapproximation, Interpolation, und Approximation in verschiedenen Funktionenräumen. Die klassische Frage nach der bestmöglichen Polynoma n-ter Grades liefert Fehlerabschätzungen, etwa Jackson-Theoreme, die die Abhängigkeit der Fehlerordnung von der Glätte der Funktion beschreiben. Das Modulus der Stetigkeit bzw. der Glätte dient als Maß der Näherungsgeschwindigkeit. Erweiterungen umfassen die Trigonomische Approximation, Splines, Rationalfunktionen und moderne Ansätze wie Wavelets oder neuronale Netze.

Anwendungen finden sich in der Signaleverarbeitung, der numerischen Analysis, der Datenanpassung und der Computergrafik (CAGD). Die Approximationstheorie bildet eine Brücke zwischen Funktionalanalysis, Harmonischer Analyse und numerischen Methoden und beeinflusst auch die Entwicklung von Lernmethoden in der Praxis.