Stetigkeit

Stetigkeit bezeichnet in der Mathematik die Eigenschaft einer Abbildung, dass nahe Eingaben nahe Ausgaben liegen. In der Analysis wird oft eine Funktion f definiert auf einem Definitionsbereich D ⊆ R oder allgemein auf Metrikräumen. Eine Funktion ist stetig an der Stelle x0 ∈ D, wenn für jedes ε > 0 ein δ > 0 existiert, sodass für alle x ∈ D gilt: |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − f(x0)| < ε. Diese ε-δ-Bedingung drückt aus, dass kleine Änderungen der Eingabe zu kleinen Änderungen der Ausgabe führen.

Eine äquivalente Form des Stetigkeitsbegriffs ist der Sequenzensatz: Jede Folge xn ∈ D mit xn → x0 erfüllt f(xn) → f(x0). Diese Charakterisierung gilt insbesondere in metrischen Räumen.

Stetigkeit lässt sich auch topologisch fassen: Eine Abbildung f: X → Y zwischen topologischen Räumen ist stetig, wenn der Gegenhang zu jeder offenen Menge offen ist, equivalently: Die Vorbildung f−1(U) offener Mengen U in Y ist offen in X. Daraus folgen grundlegende Eigenschaften wie die Erhaltung von Stetigkeit bei Summen, Produkten und Kompositionen.

Bekannte Beispiele sind stetige Funktionen wie Polynome, rationale Funktionen (auf ihrem Definitionsbereich), die Exponentialfunktion und der Logarithmus auf (0, ∞). Auf kompakten Mengen ist eine wesentliche Zusatz-Eigenschaft gegeben: Jede stetige Funktion ist gleichmäßig stetig, d. h. das δ lässt sich unabhängig von der Stelle wählen. Gleichmäßige Stetigkeit folgt auch aus der Faktorisierung durch Kompaktheit und aus Konvergenz (z. B. bei gleichmäßiger Grenzwertbildung).