SchauderSchätzungen

Die Schauder-Schätzungen, benannt nach Juliusz Schauder, sind a priori-Schätzungen in Hölder-Räumen für lineare elliptische und parabolische partiellen Differentialgleichungen. Sie zeigen, dass die Regularität der Lösung durch die Regularität der Daten bestimmt wird.

Elliptische Schauder-Schätzungen: Betrachte einen uniformly elliptischen Operator L u = ∑_{i,j} a_{ij}(x) D_{ij}u + ∑ b_i(x) D_i u + c(x) u in einer glatten Domain Ω mit Rand ∂Ω. Sind die Koeffizienten a_{ij}, b_i, c sowie die rechte Seite f in Hölder-Raum C^{α}(Ω) und die Randbedingung in C^{2,α}(∂Ω), dann existiert eine eindeutige Lösung u ∈ C^{2,α}(\overline{Ω}) der Randwertaufgabe Lu = f in Ω, u = g auf ∂Ω. Zudem gilt eine a priori-Schätzung ||u||_{C^{2,α}(\overline{Ω})} ≤ C (||f||_{C^{α}(Ω)} + ||g||_{C^{2,α}(∂Ω)}). Der Konstante C hängt von Ω, der Elliptizität und α ab.

Parabolische Schauder-Schätzungen: Für u_t - ∑ a_{ij}(t,x) D_{ij}u = f in Q = (0,T)×Ω mit geeigneten Anfangs- und Randbedingungen gilt unter a_{ij} ∈ C^{α,α/2}, f ∈ C^{α,α/2} eine ähnliche Schätzung: u liegt in dem parabolischen Hölder-Raum C^{2+α,1+α/2}(Q̄) und ||u|| ≤ C (||f||_{C^{α,α/2}(Q)} + …). Diese Schätzungen ermöglichen, dass Lösungen bei genügend glatten Daten zwei räumliche und eine zeitliche Ableitung in Hölder-Stetigkeit gewinnen.

Bedeutung: Schauder-Schätzungen sind zentrale Regularitätsresultate in der PDE-Theorie und finden Anwendung in Geometrie, Physik, Materialwissenschaften und Finanzmathematik.