Differentialgleichungen

Differentialgleichungen sind Gleichungen, die eine Funktion und ihre Ableitungen miteinander in Beziehung setzen. Sie dienen der Modellierung dynamischer Prozesse in Natur, Technik und Wirtschaft. Man unterscheidet gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs) und partielle Differentialgleichungen (PDEs). ODEs enthalten eine einzige unabhängige Variable; PDEs mehr. Die Ordnung entspricht dem höchsten Ableitungsgrad in der Gleichung.

Zu den Grundtypen gehören lineare gegenüber nichtlinearen Differentialgleichungen sowie homogene gegenüber inhomogenen Gleichungen. Die Lösung hängt von Anfangsbedingungen (bei ODEs) oder Randbedingungen (bei PDEs) ab. Existenz- und Eindeutigkeitsresultate, wie der Satz von Picard–Lindelöf, sichern unter bestimmten Voraussetzungen die Existenz einer eindeutigen Lösung.

Analytische Methoden liefern oft explizite Lösungen durch Trennung der Variablen, Integrationsfaktoren oder Variation der Konstanten. Bei komplexeren Modellen kommen numerische Verfahren zum Einsatz, z. B. das Euler-Verfahren, Runge-Kutta-Methoden oder Finite-Differenzen-Verfahren. PDEs benötigen häufig zusätzlich Diskretisierungstechniken wie Finite-Differenzen, Finite-Elemente oder spektrale Methoden. Die Wahl der Methode hängt von der Gleichungsart, den Bedingungen und dem gewünschten Genauigkeitsgrad ab.

Differentialgleichungen finden breite Anwendung in der Physik (Schwingungen, Wärmeleitung), im Ingenieurwesen (Strömung, Strukturmechanik), in der Biologie (Populationsdynamik), Chemie, Ökonomie und Umweltforschung sowie in der Klimamodellierung und der Datenanalyse.

Historisch prägten Euler, Laplace und Fourier die Entwicklung der Differentialgleichungen.

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