Gleichung

Gleichung ist in der Mathematik eine Aussage der Form A = B, in der zwei Ausdrücke durch das Gleichheitszeichen verbunden sind. In einer Gleichung können eine oder mehrere Unbekannte enthalten sein; das Ziel des Lösens besteht darin, Werte zu finden, die die Gleichung erfüllen. Die Gesamtheit solcher Werte wird als Lösungsmenge bezeichnet; bei Funktionen oder höheren Strukturen spricht man oft von Lösungen im entsprechenden Kontext.

Gleichungen werden nach dem Typ der Ausdrücke unterschieden. Typische Beispiele sind lineare Gleichungen der Form ax + b = 0, deren Lösung x = -b/a (für a ≠ 0) ist; Polynomgleichungen wie x^2 - 5x + 6 = 0 mit den Lösungen x = 2 und x = 3; Gleichungen mit mehreren Unbekannten, die als Gleichungssysteme auftreten. Es gibt auch Differentialgleichungen, in denen Ableitungen vorkommen, sowie funktionale Gleichungen, in denen eine Funktion selbst in der Gleichung vorkommt, zum Beispiel y = f(x, y) oder f(x) = g(f(x)).

Gleichungen finden breite Anwendungen in Naturwissenschaften, Technik und Wirtschaft, um Beziehungen zwischen Größen zu modellieren, Vorhersagen zu treffen oder Systeme zu beschreiben. Zur Lösung von Gleichungen werden verschiedene Methoden eingesetzt, darunter algebraische Umformungen, Faktorisierung, Substitution und Eliminierung; bei komplexen Fällen kommen numerische Verfahren zum Einsatz.