Lösungsmenge

Die Lösungsmenge bezeichnet in der Mathematik die Menge aller Elemente, die eine gegebene Bedingung erfüllen. Dabei kann es sich um eine Gleichung, eine Ungleichung oder ein Gleichungssystem handeln. Die Lösungsmenge wird oft mit L oder S gekennzeichnet und hängt vom Definitionsbereich ab, aus dem die Lösungen stammen.

Formale Definition: Sei P eine Bedingung, die Elemente eines Definitionsbereichs D erfüllen sollen. Die Lösungsmenge ist L = { x ∈ D | P(x) gilt }. Bei einem Gleichungssystem besteht L aus allen Vektoren x, die alle Gleichungen des Systems erfüllen. In vielen Fällen spricht man auch von der Lösungsmenge eines Problems, wenn die Bedingung alle geforderten Anforderungen umfasst.

Beispiele: Für die Gleichung x^2 − 4 = 0 ist L = { −2, 2 }. Für die Ungleichung x^2 < 4 gilt im R L = (−2, 2). Bei einem linearen Gleichungssystem wie 2x + y = 3 und y = x ergibt sich L = { (1, 1) }.

Darstellung und Eigenschaften: Die Lösungsmenge kann leer sein (kein Element erfüllt die Bedingung), endliche oder unendliche Mengen umfassen. Sie hängt vom betrachteten Zahlenbereich ab (z. B. reelle Zahlen R, komplexe Zahlen C) und kann grafisch, algebraisch oder numerisch beschrieben werden. In der linearen Algebra spricht man oft von der Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems bzw. vom Lösungsraum, der durch die Gleichungen eingeschränkt wird.

Zusammenfassend ist die Lösungsmenge die zentrale notionale Antwort auf die Frage, welche Elemente eine gegebenen Bedingung erfüllen.