Gleichungssystems

Gleichungssystem bezeichnet eine Menge von Gleichungen mit gemeinsamen Unbekannten. Ziel ist es, Werte zu finden, die alle Gleichungen erfüllen. Gleichungssysteme können linear oder nichtlinear sein. Lineare Systeme haben Unbekannte nur in erster Potenz und ohne Produkte; sie lassen sich oft in Matrixform Ax=b schreiben.

Die Lösungen hängen vom Rang ab. Ein lineares System hat genau eine Lösung, unendlich viele oder keine. Für das erweiterte System gilt: Rang(A) = Rang([A|b]); wenn Rang(A) = Rang([A|b]) = n (Anzahl der Unbekannten), existiert eine eindeutige Lösung; wenn Rang(A) = Rang([A|b]) < n existieren unendlich viele Lösungen; wenn Rang(A) < Rang([A|b]), ist das System unlösbar. Bei det(A) ≠ 0 ist die Lösung eindeutig gegeben durch x = A^{-1} b.

Lösungstechniken umfassen grafische Lösungen, Substitution, Eliminationsverfahren (Additionsverfahren) sowie matrixbasierte Verfahren wie Gauss-Elimination oder Gauss-Jordan. Für überbestimmte Systeme oder numerische Anwendungen eignen sich Least-Squares-Verfahren; bei großen Systemen kommen oft iterative Verfahren wie Gauss-Seidel oder Jacobi zum Einsatz.

Nichtlineare Gleichungssysteme enthalten Terme jenseits linearer Abhängigkeiten. Sie können mehrere oder keine Lösungen besitzen. Da oft keine geschlossene Lösung existiert, kommen numerische Verfahren zum Einsatz, wie das Newton-Verfahren oder Fixpunktverfahren; die Konvergenz hängt von der Anfangsnäherung ab.

Anwendungen finden sich in Physik, Technik, Wirtschaft und Informatik. Beispiele: Linear: 2x + y = 5, x − y = 1; Lösung x=2, y=1. Nichtlinear: x^2 + y^2 = 25, x − y = 1; Lösungen (4,3) und (-3,-4).