Gleichungen

Gleichungen sind Aussagen, in denen zwei Ausdrücke durch das Gleichheitszeichen gleichgesetzt werden. Enthält eine Gleichung Variablen, sind die Werte dieser Variablen die Lösungen, die die Gleichung erfüllen. Eine Gleichung kann eine eindeutige Lösung haben, unendlich viele Lösungen im Fall einer Identität oder keine Lösung, wenn sie widersprüchlich ist.

Gleichungen lassen sich nach Typ unterscheiden: lineare Gleichungen (z. B. 2x + 3y = 6), quadratische Gleichungen (ax^2 + bx + c = 0), polynomiale, rationale, exponentielle und logarithmische Gleichungen sowie Differentialgleichungen, die sich auf Funktionen und ihre Ableitungen beziehen. Systeme von Gleichungen betrachten mehrere Gleichungen gleichzeitig; lineare Systeme lassen sich oft in Matrixform Ax = b schreiben und mit Verfahren wie Substitution, Eliminierung oder dem Gauss-Algorithmus lösen.

Lösungsstrategien hängen vom Typ ab. Algebraische Methoden umfassen Umformen, Faktorisieren und Vervollständigen der Quadratbildung. Numerische Verfahren kommen bei komplizierteren oder nicht-analytisch lösbaren Gleichungen zum Einsatz. Differentialgleichungen erfordern Integration oder spezielle Techniken, oft mit Anfangs- oder Randbedingungen.

Notationen: LHS (linke Seite) und RHS (rechte Seite) kennzeichnen die beiden Seiten der Gleichung; Unbekannte sind die Variablen, üblicherweise x, y, z. Beispiele verdeutlichen Grundfälle: x + 3 = 7 ⇒ x = 4; 2x + 3y = 6 und x − y = 1 ⇒ x = 2, y = 1.

Anwendungen finden sich in Physik, Technik, Wirtschaft, Informatik und vielen anderen Bereichen, wo Beziehungen zwischen Größen modelliert werden.