Vektoren

Vektoren sind Grundelemente der linearen Algebra. In der Geometrie bezeichnet man oft einen Vektor als einen Pfeil im Raum, dessen Länge die Größe und dessen Richtung die Orientierung festlegt. Mathematisch ist ein Vektor jedoch ein Element eines Vektorraums; in vielen Anwendungen handelt es sich um Koordinatenvektoren, etwa in R^n, die als geordnete n-Tupel geschrieben werden.

Vektoren werden durch Komponenten beschrieben, z. B. v = (v1, v2, ..., vn). Die Addition erfolgt komponentenweise, ebenso die Skalarmultiplikation. Der Nullvektor hat alle Komponenten gleich Null. Der Betrag oder die Norm von v ist ||v|| = sqrt(v1^2 + ... + vn^2) im Standard-Raum.

Das Skalarprodukt (Dot-Produkt) ermöglicht es, den Winkel zwischen zwei Vektoren zu bestimmen: v · w = v1 w1 + ... + vn wn, und cos theta = (v · w) / (||v|| ||w||). Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) in drei Dimensionen liefert einen Vektor senkrecht zu v und w, dessen Betrag |v × w| = ||v|| ||w|| sin theta.

Auf abstrakter Ebene bilden Vektoren Teilmengen eines Vektorraums über einem Körper (typisch R oder C). Wichtige Begriffe sind Linearkombination, Erzeugendensystem, Basis, Dimension und Unterräume. Die Darstellung eines Vektors hängt von der gewählten Basis ab.

Verwendungen finden sich in Geometrie, Physik, Informatik, Statistik und Wirtschaft. In der Informatik werden Vektoren oft als Spalten- oder Zeilenvektoren genutzt, in der linearen Transformation durch Matrizen abgebildet.