Skalarmultiplikation

Skalarmultiplikation bezeichnet in der Mathematik die Operation, bei der ein Vektor mit einem Skalar aus einem zugrunde liegenden Körper multipliziert wird. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor desselben Vektorraums. In vielen Kontexten, insbesondere in R^n, erfolgt die Multiplikation komponentenweise: a · (v1, v2, ..., vn) = (a v1, a v2, ..., a vn).

Formal gehört die Skalarmultiplikation zur Struktur eines Vektorraums über dem Körper F. Für alle a, b ∈ F und alle Vektoren u, v ∈ V gelten die Axiome: (a+b)·v = a·v + b·v; a·(u+v) = a·u + a·v; (ab)·v = a·(b·v); 1·v = v; 0·v = 0. Diese Eigenschaften sichern, dass die Skalarmultiplikation mit der Vektoraddition und der Skalaraddition kompatibel ist.

Ausgeprägte Eigenschaften: In normierten Räumen gilt ||a·v|| = |a| · ||v||; wenn a > 0 bleibt die Richtung des Vektors unverändert, bei a < 0 kehrt sie sich um. Die Skalierung verändert hauptsächlich die Länge.

Beispiele finden sich in der Geometrie, Physik und Computergrafik, wo Vektoren oft durch Skalare vergrößert oder verkleinert werden, etwa zur Anpassung von Größen, zur Projektion oder als Teil linearer Transformationen.

Weitergehende Generalisierungen führen zur Modultheorie, bei der Vektoräume über Ringen statt Feldern definiert werden; in linearen Räumen interagiert die Skalarmultiplikation mit dem Skalarprodukt durch Skalierung: a⟨u, w⟩ = ⟨au, w⟩.