Matrizen

Matrizen sind rechteckige Anordnungen von Zahlen oder Funktionen, die in Zeilen und Spalten organisiert sind. Eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten heißt m×n-Matrix. Die Elemente werden mit aij bezeichnet, wobei i die Zeilennummer und j die Spaltennummer angibt. Matrizen dienen als kompakte Darstellung linearer Abbildungen zwischen Vektorräumen: Eine Matrix A multipliziert mit einem Vektor x liefert y = Ax.

Grundoperationen umfassen Addition und Subtraktion zweier Matrizen gleicher Abmessungen, sowie skalare Multiplikation. Die Matrixmultiplikation AB ist definiert, wenn die Spaltenzahl von A der Zeilenzahl von B entspricht; das Element cij ergibt sich als Summe über k von aik bkj. Die Transponierte A^T vertauscht Zeilen und Spalten. Eine quadratische Matrix kann invertierbar sein; dann existiert eine Inverse A^{-1} mit AA^{-1} = A^{-1}A = I. Die Determinante det(A) ist eine Zahl, deren Nicht-Null-Sein die Invertierbarkeit bedingt.

Spezialformen sind Diagonal-, Dreiecks-, symmetrische und orthogonale Matrizen. Orthogonale Matrizen erfüllen A^T A = I und erhalten bei Multiplikation mit der Transponierten die Identität. Matrizen über dem Feld der reellen oder komplexen Zahlen werden in vielen Bereichen verwendet.

Anwendungen finden sich in der Lösung linearer Gleichungssysteme, in der Beschreibung linearer Transformationen, in der Computergrafik, Statistik und dem maschinellen Lernen, wo Matrizen Gewichte, Daten oder Koordinaten bündeln. Geschichte: Die moderne Matrixalgebra entstand im 19. Jahrhundert durch Cayley und Sylvester, die das Konzept systematisierten und die Rechenregeln formten.