Linearkombination

Linearkombination bezeichnet in der linearen Algebra die Darstellung eines Vektors als gewichtete Summe von Vektoren aus einem Vektorraums. Formal: Sei V ein Vektorraum über dem Körper F. Gegeben Vektoren v1, …, vk ∈ V sowie Skalare α1, …, αk ∈ F. Die Linearkombination α1 v1 + … + αk vk ist die Summe der Vielfachen der Vektoren. Der Ausdruck bezieht sich auch auf die Menge aller solchen Linearkombinationen: Der von v1,...,vk erzeugte Unterraum, auch Spann oder Erzeugnis genannt, enthält alle Vektoren, die als Linearkombination der Vektoren dargestellt werden können.

Lineare Unabhängigkeit: Die Vektoren v1,...,vk heißen linear unabhängig, falls die Gleichung α1 v1 + … + αk vk = 0 nur die triviale Lösung α1 = … = αk = 0 besitzt. Sind sie abhängig, existieren nicht-triviale Koeffizienten. Die Dimension des erzeugten Unterraums heißt Rang der Vektoren; im Fall linear unabhängiger Vektoren ist dieser Rang gleich k.

Beispiele: In R^3 seien v1 = (1,0,0) und v2 = (0,1,0). Die Linearkombination α1 v1 + α2 v2 ergibt den Vektor (α1, α2, 0), der alle Vektoren der XY-Ebene umfasst. In R^2 ist v = (3,4). Alle Linearkombinationen α v = (3α, 4α) liegen auf der durch Ursprung gehenden Gerade, dem von v erzeugten Unterraum.

Ist v1,...,vk eine Basis des erzeugten Unterraums, dann ist jeder Vektor im Unterraum eindeutig als Linearkombination dieser Vektoren darstellbar; die Koeffizienten α1,...,αk heißen Koordinaten dieses Vektors bezüglich dieser Basis.

Linearkombinationen spielen in vielen Bereichen der Mathematik und Anwendung eine zentrale Rolle, etwa beim Lösen homogener linearer Gleichungssysteme, in der Koordinatentransformation, der Approximation von Daten sowie in der Beschreibung von Unterräumen in Vektorräumen.