Ungleichung

Eine Ungleichung ist in der Mathematik eine Aussage, die zwei Ausdrücke durch ein Relationalzeichen (<, ≤, > oder ≥) miteinander verknüpft und angibt, dass eine Bedingung zwischen ihnen erfüllt ist. Die Menge der Werte, die diese Bedingung erfüllen, wird als Lösungsmenge bezeichnet. Ungleichungen unterscheiden sich von Gleichungen, weil sie nicht nur eine einzelne Lösung, sondern auch ganze Lösungsmengen beschreiben können.

Strikte Ungleichungen verwenden < oder >, nicht-strikte Ungleichungen verwenden ≤ oder ≥. Gleichheit wird durch eine Gleichung beschrieben und ist eine eigene Relation.

Beim Lösen von Ungleichungen gelten ähnliche Rechengesetze wie bei Gleichungen, teils mit Ausnahmen: Addition oder Subtraktion beider Seiten verändert die Lösungsmenge nicht; Multiplikation oder Division durch eine positive Zahl erhält die Richtung der Ungleichung, durch eine negative Zahl kehrt sie um. Systeme von Ungleichungen definieren zulässige Regionen, grafisch als Schnitt mehrerer Halbsflächen.

Wichtige Beispiele sind die Dreiecksungleichung: |a+b| ≤ |a|+|b|; und die AM-GM-Ungleichung: Für nichtnegative Zahlen a und b gilt a+b ≥ 2√(ab). Neben diesen gibt es viele weitere Ungleichungen in Analysis und Algebra, etwa die Cauchy-Schwarz- oder Jensen-Ungleichung, die in Beweisen häufig verwendet werden.

Anwendungen finden sich in Optimierung, Schätzung, Numerik, Physik und Ökonomie, wo Ungleichungen genutzt werden, um Grenzwerte, Stabilität oder Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen.