Halbsflächen

Halbsflächen sind in der Geometrie Teilmengen der Ebene, die durch eine Gerade in zwei Bereiche geteilt werden. Eine Halbsfläche umfasst alle Punkte auf einer Seite der Geraden; die andere Seite bildet die zweite Halbsfläche. Die Geraden selbst kann man je nach Definition zur offenen oder geschlossenen Halbsfläche zählen.

Formal lässt sich eine Halbsfläche mit einer Geradengleichung ax + by + c = 0 beschreiben. Die beiden geschlossenen Halbsflächen sind H1 = { (x, y) ∈ R^2 | ax + by + c ≥ 0 } und H2 = { (x, y) ∈ R^2 | ax + by + c ≤ 0 }. Offene Halbsflächen verwenden die Strenglingszeichen > bzw. <. Der Rand jeder Halbsfläche ist die Geraden selbst.

Eigenschaften: Halbsflächen sind konvexe Mengen und unbeschränkt. Ihr Rand bildet die Trennebene (bzw. die Geradenlinie). Die Schnittmenge mehrerer Halbsflächen ergibt eine konvexe Menge; bei endlicher Anzahl kann diese Schnittmenge ein Polygon oder eine unendliche Fläche sein. Halbsflächen lassen sich miteinander zu komplexeren konvexen Gebilden kombinieren.

Verallgemeinerung: In höheren Dimensionen spricht man von Halbräumen oder Halbräumen (half-spaces) definiert durch lineare Ungleichungen a^T x + c ≥ 0 oder ≤ 0; die Grenze heißt Hyperplane. Begriffe wie Halbraum und Halbebene werden je nach Dimension synonym verwendet.

Verwendung: Halbsflächen spielen eine zentrale Rolle in der linearen Programmierung, der computationalen Geometrie und in Clip-/Clipping-Algorithmen zur Polygoneinstellung. Sie dienen zudem als fundamentale Bausteine bei der Konstruktion konvexer Mengen und Raumaufteilungen.

Siehe auch: Halbraum, Halbebene, lineare Ungleichung, konvexe Menge, Polygon.