Ungleichungen

Ungleichungen sind mathematische Beziehungen zwischen zwei Ausdrücken, die ausdrücken, dass die Größen nicht gleich sind. Sie verwenden die Symbole <, ≤, > und ≥. Im Gegensatz zu Gleichungen beschreiben Ungleichungen Mengen von Werten, die die Bedingung erfüllen. Die Lösungen bilden typischerweise Intervallsätze auf der Zahlachse oder Regionen in der Ebene, nicht einzelne Werte.

Man unterscheidet ein- und mehrdimensionale Ungleichungen sowie lineare und nichtlineare Ungleichheiten. Eine einzelne Variable kann in linearen Ungleichungen wie a x + b ≤ c gelöst werden; quadratische oder höhere Potenzen liefern in der Regel komplexere Lösungsbereiche. Systeme von Ungleichungen definieren gemeinsam zulässige Bereiche (Feasible Regions) und werden oft grafisch oder algebraisch gelöst.

Änderungen an der linken oder rechten Seite einer Ungleichung mittels Addition gleicher Größen ändern die Lösung nicht. Beim Multiplizieren oder Dividieren durch eine positive Zahl bleibt die Richtung der Ungleichung unverändert, bei negativer Zahl kehrt sie um. Wichtige Techniken sind Umformen, das Zusammenfassen, Substitution und Eliminationsmethoden bei Systemen, sowie graphische Darstellung.

Spezielle Formen umfassen Betrags-Ungleichungen, deren Lösung durch Fallunterscheidung erfolgt, und Ungleichungen mit Brüchen, die man durch Multiplikation mit dem Nenner löst. Anwendungen finden sich in der Geometrie (Beschränkung von Seitenlängen), der Optimierung (Feasible-Region in der linearen Programmierung) sowie in Abschätzungen und Beweisen. Bekannte Beispiele sind die Dreiecksungleichung und verschiedene Potenz- und Mengengrenzen.