Ungleichheiten

Ungleichheiten sind mathematische Aussagen, die zwei Größen in einer Ordnungsrelation zueinander setzen und ausdrücken, dass eine Größe kleiner oder größer als eine andere ist. Typische Formen sind Beispiele wie a ≤ b, a < b, a ≥ b oder a > b. Im Gegensatz zu Gleichheiten legen Ungleichheiten eine zulässige Menge von Werten fest; für die reellen Zahlen ergibt sich häufig eine Intervallmenge als Lösung. Das Verhältnis ≤ und ≥ bildet eine totale Ordnung, während < und > die sogenannten strengen Ungleichheiten darstellen; beide Formen unterscheiden sich durch die Endpunkte der Lösungsmengen.

Beim Arbeiten mit Ungleichheiten gelten grundlegende Regeln: Addition oder Subtraktion von gleichen Größen beeinflusst die Lösung nicht, die Richtung bleibt unverändert. Multiplikation oder Division durch eine positive Zahl erhält die Richtung, durch eine negative Zahl kehrt sie um. Bei Funktionen können sich durch Monotonie oder Umformungen die Lösungsbereiche ändern; besondere Sorgfalt gilt bei Gleichungen mit Beträgen, Quadraten oder rationalen Ausdrücken.

Das Lösen von Ungleichheiten umfasst das Bestimmen der Menge aller Werte, die die Bedingung erfüllen. Beispiele: 2x - 3 > 5 führt zu x > 4; x^2 < 9 ergibt -3 < x < 3; |x - 1| ≤ 4 ergibt -3 ≤ x ≤ 5. Mehrere Ungleichheiten bilden zusammen Lösungsräume in R^n, graphisch als Bereiche oder Winkel in der Ebene. Ungleichheiten finden breite Anwendungen in Mathematik, Analysis, Optimierung, Ökonomie und Naturwissenschaften, wo sie zur Modellierung von Einschränkungen und Grenzwerten dienen.