Eliminationsmethoden

Eliminationsmethoden bezeichnen eine Gruppe numerischer Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme, bei denen durch geeignete Zeilenoperationen Variablen schrittweise eliminiert werden, um eine obere Dreiecksform zu erreichen und danach das System aufzulösen. Ziel ist es, die Unbekannten durch systematisches Eliminieren zu bestimmen.

Ausgangspunkt ist oft die erweiterte Matrix [A|b]. Durch elementare Zeilenoperationen werden Pivotspalten so angeordnet und Nullen unterhalb der Pivots erzeugt, bis eine Row-Echelon Form oder eine reduzierte Form (RREF) vorliegt. Danach erfolgt Vorwärts- oder Rückwärtssubstitution, um die Unbekannten zu bestimmen. Die Elimination bietet eine klare, schrittweise Vorgehensweise, eignet sich gut für handhabbare Systeme und lässt sich auch numerisch implementieren.

Zu den bekanntesten Eliminationsmethoden gehören das Gauss-Verfahren (Gaussian elimination), das Gauss-Jordan-Verfahren sowie die LU-Zerlegung (A = L U), bei der zunächst eine Zerlegung von A erfolgen kann und anschließend L y = b sowie U x = y gelöst werden. Abhängig von der Form der Zerlegung unterscheiden sich Stabilität, Speicherbedarf und Rechenaufwand.

Für numerische Stabilität wird häufig Pivoting eingesetzt, etwa partielles oder vollständiges Pivoting, um Divisionen durch kleine Zahlen zu vermeiden. Die Verfahren setzen in der Regel die Existenz einer eindeutigen Lösung voraus; bei Rangdefiziten oder überbestimmten Systemen kommen Alternativen wie Least-Squares-Verfahren zum Einsatz. Typische Anwendungen finden sich in Technik, Physik, Informatik und Wirtschaft.