Zeilenoperationen

Zeilenoperationen bezeichnet man in der linearen Algebra als drei Arten von Transformationen, die an den Zeilen einer Matrix durchgeführt werden, um eine äquivalente Matrix zu erzeugen. Sie dienen vor allem der Lösung linearer Gleichungssysteme, der Bestimmung des Rangs oder der Prüfung von Invertierbarkeit.

Die drei elementaren Zeilenoperationen sind: Zeilen tauschen (i und j); Zeile mit einem nicht-null Skalar c multiplizieren; Zeile i durch Addition eines Vielfachen einer anderen Zeile ersetzen, also Zeile i := Zeile i + c · Zeile j (i ≠ j, c ∈ Feld). Jede dieser Operationen bleibt mathematisch reversibel, vorausgesetzt c ≠ 0 beim Skalieren; das Tauschen lässt sich durch erneutes Tauschen rückgängig machen; das Multiplizieren mit 1/c und das Addieren eines Vielfachen sind durch entsprechende Gegenoperationen ebenfalls rückgängig.

Sie bewahren die Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen. Formal lässt sich ausdrücken, dass eine Folge von Zeilenoperationen durch eine linke Multiplikation mit einer Matrix E dargestellt werden kann, so dass E A = A' und E b = b', wobei das zugehörige Gleichungssystem äquivalent bleibt.

Anwendungen umfassen das Gaußsche Eliminationsverfahren zur Bestimmung der Zeilenstufenform oder der reduzierten Zeilenstufenform, die Bestimmung des Rangs und die Prüfung der Invertierbarkeit einer quadratischen Matrix. Das Gauss-Jordan-Verfahren ermöglicht zudem die Berechnung der Inverse durch Transformation von [A | I] zu [I | A^{-1}].

Zusätzliche Eigenschaften: Beim Determinantenwert beeinflussen die Operationen den Determinanten wie folgt: Zeilentausch multipliziert det(A) mit -1, Zeile mit c multipliziert det(A) mit c, Zeilenaddition ändert det(A) nicht. Zeilenoperationen sind daher zentral für Theorie und Praxis der linearen Algebra.