Determinantenwert

Der Determinantenwert einer quadratischen Matrix A ist eine skalare Größe, die den linearen Abbildungseffekt von A beschreibt. Er gibt an, wie Volumen unter der Transformation skaliert wird und ob die Orientierung erhalten bleibt. Ist det(A) ungleich Null, ist A invertierbar; sonst nicht.

Für eine 2×2-Matrix A = [ [a, b], [c, d] ] ergibt sich det(A) = ad − bc. Für eine 3×3-Matrix lässt sich det(A) über die Regel von Sarrus oder über eine Permutationssum berechnen. Allgemein ist det die eindeutige Abbildung det: M_n(F) → F, die multilinear und alternierend in den Zeilen (oder Spalten) ist und det(I) = 1 erfüllt.

Wichtige Eigenschaften: det(AB) = det(A) det(B) und det(A^T) = det(A). Für n×n gilt det(kA) = k^n det(A). det(A) = 0 genau dann, wenn Zeilen oder Spalten linear abhängig sind. Zeilenvertauschungen ändern das Vorzeichen. Der Betrag von det(A) gibt die Volumenveränderung durch die Transformation an; das Vorzeichen kennzeichnet die Orientierung.

Anwendungen: det dient zur Bestimmung der Invertierbarkeit, in Cramers Regel zur Lösung linearer Gleichungen, und als Produkt der Eigenwerte. Die Inverse ist gegeben durch A^{-1} = (1/det(A)) adj(A), sofern det(A) ≠ 0.

Berechnung: Üblich ist die Nutzung einer LU-Zerlegung oder Zeilenreduktion; det(A) ist dann das Produkt der Diagonaleinträge von U (mit Vorzeichen aus Zeilenumbrüchen). Erweiterungen nach Minoren sind bei großen Matrizen unpraktisch.