LUZerlegung

Die LU-Zerlegung, auch LU-Decomposition genannt, ist eine Faktorisierung einer quadratischen Matrix A in das Produkt einer unteren Dreiecksmatrix L und einer oberen Dreiecksmatrix U, so dass A = LU. In vielen Varianten besitzt L eine Einheitdiagonale (Doolittle-Form), während bei Crout-Form U eine Einheitdiagonale hat. Durch Pivotisierung kann die Zerlegung stabiler erfolgen; dann schreibt man PA = LU, wobei P eine Permutationsmatrix ist, die Zeilenvertauschungen darstellt.

Existenz und Varianten: Ohne Pivotierung existiert eine LU-Zerlegung nicht für alle Matrizen; ausreichende Bedingung sind nichtverschwindende führende Minoren. Mit Partielle Pivotierung findet man häufig eine Zerlegung für beliebige invertierbare Matrizen, indem man während der Eliminationsschritte Zeilen vertauscht, um geeignete Pivotelemente sicherzustellen. Es gibt verschiedene Umformungen, wie Doolittle (L mit Einsen auf der Diagonale) oder Crout (U mit Einsen auf der Diagonale).

Anwendungen: Die LU-Zerlegung dient vor allem zum Lösen von linearen Gleichungssystemen Ax = b. Man löst zuerst Ly = Pb durch Vorwärtseinsetzung und dann Ux = y durch Rückwärtseinsetzung. Weitere Anwendungen umfassen die Berechnung von Determinanten (det(A) = det(P) det(U) in der Regel, da det(L) = 1 bei einer Einheitsdiagonalen) und die Bestimmung der Inversen durch wiederholtes Lösen von Gleichungssystemen. LU-Zerlegungen bilden auch die Grundlage vieler numerischer Algorithmen für Regression, Simulationen und Optimierung.

Wichtige Eigenschaften: Die Zerlegung ist besonders nützlich für repetitives Lösen ähnlicher Systeme und für die stabile numerische Berechnung von Lösungen. Pivoting erhöht die Stabilität bei schlecht konditionierten Matrizen, minimiert Rundungsfehler und verhindert Divisionen durch kleine Zahlen.