Eigenwerte

Eigenwerte, auch die Eigenwerte eines linearen Operators, sind Skalare λ, für die es einen nicht-null Vektor v gibt, der Av = λv erfüllt. Solche λ werden als Eigenwerte von A bezeichnet, und zu jedem λ gehört ein Eigenvektor v, der ein Vektor im Kern von (A − λI) ist. Die Eigenwerte ergeben sich aus der Charakteristikpolynom p(λ) = det(A − λI); dessen Nullstellen sind die Eigenwerte, gezählt mit ihrer algebraischen Vielfachheit. Bei reellen Matrizen können Eigenwerte reell oder komplex auftreten; komplexe Eigenwerte treten stets als konjugierte Paare auf. Der zu λ gehörige Eigenraum besteht aus allen Lösungen von (A − λI)v = 0, und die geometrische Vielfachheit ist die Dimension dieses Raums.

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn die Summe der geometrischen Vielfachheiten aller Eigenwerte n beträgt. Dann existiert eine invertierbare Matrix P mit A = PDP^{-1}, wobei D Diagonalmatrix ist, deren Einträge die Eigenwerte sind. Eigenwerte bleiben unverändert unter Äquivalenztransformationen: Falls B = S^{-1}AS, besitzt B dieselben Eigenwerte wie A.

Berechnung: In der Praxis löst man det(A − λI) = 0, was für kleine Matrizen oft analytisch möglich ist; für größere Matrizen kommen numerische Verfahren zum Einsatz. Gängige Methoden sind das QR-Algorithmus, iterative Verfahren wie das Power-Methoden-Verfahren zur Bestimmung des dominanten Eigenwerts oder Lanczos-Methoden.

Anwendungen finden sich in der Stabilitätsanalyse dynamischer Systeme, der Lösung linearer Differentialgleichungssysteme, in Markov-Ketten, Ranking-Algorithmen (z. B. PageRank) und spektralen Methoden wie der Hauptkomponentenanalyse (PCA). Bei symmetrischen Matrizen spielt der Spektralsatz eine zentrale Rolle: Realwerte Eigenwerte und orthogonale Eigenvektoren ermöglichen eine orthogonale Diagonalisierung.