Eigenvektoren

Eigenvektoren sind Vektoren, die unter einer linearen Abbildung A nur in der Länge skaliert werden und dabei ihre Richtung beibehalten. Konkret gilt für ein Quadratmatrix A über einem Feld F (typisch reell oder komplex) ein nicht Nullvektor v und eine Zahl λ, sodass Av = λv. Dann nennt man (λ, v) ein Eigenwert-Eigenvektor-Paar, wobei v ≠ 0 ist. Die Gleichung λ v = Av lässt sich auch als (A − λI)v = 0 schreiben, so dass für jedes λ die entsprechenden Eigenvektorräume als Kern von (A − λI) auftreten.

Eigenwerte ergeben sich als Nullstellen der charakteristischen Gleichung det(A − λI) = 0. Zu jedem Eigenwert λ bilden die Vektoren in der Nullspace von A − λI das zugehörige Eigenvektorenset (Eigenspace). Die Eigenvektoren sind bis zur Skalierung eindeutig und liefern oft eine direkte Darstellung der Wirkung von A in bestimmten Richtungen.

Eigenschaften und Bedeutung: Eigenvektoren zeigen invariant Richtungen einer linearen Transformation. Ist A real, können Eigenwerte auch komplex auftreten. Bei reellen, symmetrischen Matrizen gilt der Spektralsatz: zu verschiedenen Eigenwerten stehen orthogonale Eigenvektoren. Allgemein ist A genau dann diagonalisierbar, wenn es eine Basis von n linear unabhängigen Eigenvektoren gibt; dann gilt A = PDP^{-1} mit einer Diagonal- bzw. Blockdiagonalform D. Die algebraische Multiplikität eines Eigenwerts kann von seiner geometrischen Multiplikität abweichen.

Berechnung und Anwendungen: Eigenwerte und zugehörige Vektoren erhält man durch Lösung von det(A − λI) = 0 und dem Nullraum von A − λI. Numerisch werden oft Verfahren wie das QR-Verfahren oder Power-Iteration eingesetzt. Anwendungen reichen von der Lösung linearer Differentialgleichungen über Stabilitätsanalysen bis hin zu Verfahren der Hauptkomponentenanalyse in der Statistik. Ein einfaches Beispiel liefert A = [[2,1],[0,3]] mit Eigenwerten 2 und 3 und zugehörigen Vektoren [1,0] bzw. [1,1].