Multiplikität

Multiplikität, oder Multiplicity, bezeichnet in der Mathematik und verwandten Fachgebieten die Häufigkeit oder das ordinale Maß, mit dem ein Objekt auftritt oder eine Eigenschaft besitzt. Sie dient dazu, Vorkommen zu quantifizieren, die nicht durch eine einfache Zählung erfasst werden, sondern durch den Grad einer Wiederholung, eines Spezialfalls oder einer Interaktion.

Im Polynombereich bezieht sich die Multiplikität auf die Anzahl der Male, mit der eine Nullstelle als Wurzel erscheint. Formal ist die Multiplikität einer Wurzel r die größte Potenz k, so dass (x - r)^k f(x) durch (x - r)^k teilt f, aber (x - r)^(k+1) nicht. Eine Nullstelle kann mehrfach auftreten, etwa f(x) = (x - 2)^3 (x + 1)^2 hat die Nullstelle x = 2 mit Multiplikität 3 und x = -1 mit Multiplikität 2. Die Summe aller Nullmultiplikitäten entspricht der Gradzahl des Polynoms.

In der linearen Algebra ist die Eigenmultiplikität eines Eigenwerts die Vielfachheit von λ als Wurzel der charakteristischen Gleichung det(A - λI) = 0. Die algebraische Multiplikität kann größer als die geometrische Multiplikität sein, wobei Letztere die Dimension des Eigenraums angibt. Beispiel: Die Matrix [[2,1],[0,2]] hat den Eigenwert 2 mit algebraischer Multiplikität 2 und geometrischer Multipikität 1.

In der komplexen Analysis beschreibt die Multiplikität die Ordnung von Nullstellen und Polstellen meromorpher Funktionen. Wenn f(z) nahe z0 als f(z) = (z - z0)^m g(z) mit g(z0) ≠ 0 geschrieben wird, besitzt z0 eine Nullstelle oder Polstelle von Ordnung m, also Multiplikität m.

In der Algebraischen Geometrie wird der Begriff der Schnittmultiplikität verwendet, um das feine lokale Verhalten von Kurvenpunkten zu beschreiben, an denen Kurven sich schneiden. Die Multiplikität dient damit als Kennzahl, die über die bloße Anzahl der Schnittpunkte hinausgeht.

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