Kurven

Kurven bezeichnet in der Geometrie eine kontinuierliche Abbildung eines Intervalls in den euklidischen Raum, die einen eindimensionalen Bildraum erzeugt. In der Ebene heißen sie planare Kurven; im dreidimensionalen Raum räumliche Kurven. Üblicherweise werden sie durch eine Parametrisierung γ(t) = (x(t), y(t)) im Fall der Ebene oder γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) im Raum beschrieben, wobei t aus einem Intervall I ⊂ R stammt.

Beispiele umfassen Geraden, Kreise, Ellipsen und Parabeln sowie allgemein polynomiale oder splinbasierte Kurven wie Bezier- oder B-Spline-Kurven. Eine Ebene Kurve kann explizit durch f(x,y) = 0 oder implizit durch eine Gleichung beschrieben werden. In der algebraischen Geometrie werden Kurven oft als Mengen von Punkten definiert, die eine Polynomgleichung erfüllen.

Wichtige Konzepte sind Tangente, Bogenlänge, Krümmung und Torsion. Die Tangente ergibt sich aus der Ableitung der Parametrisierung. Die Krümmung misst die Biegung der Kurve; im Raum lässt sie sich über die Ableitungen γ' und γ'' berechnen. Für planare Kurven gilt eine entsprechende Formel. In der Geometrie liefern Frenet-Serret-Gleichungen eine Orientierung durch Tangente, Normalen und Binormalen.

Kurven finden breite Anwendungen in Mathematik, Physik, Grafik und Technik, etwa bei der Modellierung von Bewegungen, Pfaden und Oberflächen. Algebraische Kurven spielen in der Geometrie eine zentrale Rolle und liefern Einblicke in Strukturen wie Genus sowie in Singularitäten.

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